一、开创数学“金三角”
谷超豪的弟子李大潜院士说：“说谷先生是一位数学家，还不如说他是一位数学领域的战略家，总是能高瞻远瞩地看到数学未来的发展，而且，他总能看到国家发展的重大需求，通过需求来引领数学研究的未来。”
谷超豪的学生，复旦大学副校长陈晓漫则如是说：“数学学科发展到今天就像一棵枝繁叶茂的大树，一般研究者能在其中一个分枝上摘到果子就很不容易了，但谷先生却是少有的多面手，他同时在三个最主要的枝干上都获得了丰收。”
法兰西科学院院士肖盖曾这样形容谷老的工作风格：“独特，高雅，深入，多变”。如果说前三者是许多杰出科学家的共性，而“多变”则恐怕是谷老学术生涯的一大特点了。
谷超豪就是这样一位数学上的战略家、多面手和多变者。他将微分几何、偏微分方程和数学物理这三个没有多大联系甚至会让人“迷路”的“百慕大三角”亲昵地称为“金三角”。在这里，谷超豪发现了挖掘不尽的宝藏，成就了他数学事业的辉煌，更成就了国家科技事业的繁荣发展。
谷超豪早期的研究工作主要在微分几何方面。大学毕业后不久，他在苏步青教授的指导下，在K展空间微分几何学方面取得了系统的研究成果，引起了国际同行的注意，其代表性的论文是《隐因数方程式表示下的K展空间理论》《中国科学》，1951。接着，他又从事仿射联络空间和芬斯拉空间研究，包括整体的嵌入问题等，得到了很有意义的成果。随后，他的主要研究方向转向众所公认的图形领域“无限连续变换拟群”，取得了突出的成就，发表了《论变换拟群的若干通性及其在微分几何中的应用》《莫斯科大学》，1959。数学战略家谷超豪传第三章硕果累累为此，莫斯科大学授予他物理数学科学博士学位。当时的评述人认为，他的工作是E．嘉当以后这个方向上的一项重要进展。谷超豪不仅对迷向群和变换拟群的关系作了深入的探讨，还在黎曼几何和辛尺度几何方面作了深入的研究，并得到了重要的应用。后来胡和生利用他所提出的理论，原则上完全决定了黎曼空间完全运动群的所有空隙。有关齐性黎曼空间的结果，整理在其专著《齐性空间微分几何学》(上海科技出版社，1964年)中，有一定的影响。此外，谷超豪在1959年回国后，还找到了能作为无限连续群的迷向群的所有实不可约线性群，比国外的有关工作早了5年。
中国科学家词典编委会：《中国科学家词典》（现代第二分册），山东科学技术出版社，1985.1.p.225。
微分几何
(1) 一般空间微分几何学
19世纪出现的黎曼几何学，是以定义空间相邻二点距离平方的二次微分形式为基础建立起来的。二十世纪以来，由于黎曼几何在广义相对论中成功应用的刺激和推动，产生了诸如芬斯拉空间、嘉当空间以及道路空间、X展空间等通称为一般空间的微分几何学。以苏步青为代表的中国微分几何学家对一般空间的微分几何学作出了突出的贡献，其中也包括了谷超豪的许多工作，例如对仿射联络空间和芬斯拉空间的整体安装问题。特别对由美国数学家J·道格拉斯(Douglas)最早提出的、用一组完全可积的偏微分方程组定义的久展空间，谷超豪另辟路径，用隐函数方程进行了研究，从而以相当新颖的形式导出了久展微分方程的可积条件，得到了空间的射影联络，并相当方便地证明了关于平面公理的定理，对A展空间的几何学作出了贡献。1956年，苏联《数学评论杂志》曾登载长篇评论，介绍了谷超豪的这一工作。
(2) 无限连续变换拟群和齐性黎曼空间
无限维的连续变换拟群，首先是S·李(Lie)提出的，嘉当对其作了重大发展。1957年，苏步青曾对谷超豪说，嘉当的工作经过后人的努力都得到了重大的发展，但变换拟群理论却是例外。谷超豪到苏联后，利用那里的条件，抓住这个课题，分析了结构常数的几何意义，对迷向群分为直积并具有不变向量的情况作了细致的分析，并将其应用于具辛尺度的空间和齐性黎曼空间，获得了很有意义的成果。正如他的博士论文答辩评语所指出的：“谷超豪在E·嘉当之后，第一个对变换拟群的理论作出了重要的推进。”
此外，决定能作为迷向群的线性群，在无限连续变换拟群理论中起着关键的作用。嘉当曾利用复数域上的半单纯李代数的表示理论，决定了所有能作为无限连续群的迷向群的不可约(复)线性群。对于实不可约线性群的情况，是由谷超豪彻底解决的。
上述两方面的工作，都是对嘉当方法与结果的重要推进。
《科学家传记大辞典》编辑组：《中国现代科学家传记》第五集，科学出版社，1991.9.p.34。
偏微分方程
1956年，谷超豪作为复旦大学副教授，是古典微分几何学派的中坚人物。他参与了国家第一个十年科学规划纲要的制订。当时，由于我国在计算数学、概率论、偏微分方程等方面都比较薄弱，所以科学规划纲要提出，要在这些领域有所突破。1958年，苏联发射了第一颗人造卫星，开辟了星际航行的时代。远在莫斯科大学力学数学系进修的谷超豪敏锐地从中看到了偏微分方程这块国内数学领域的薄弱园地极需要发展。因为偏微分方程是数学和物理科学、工程科学沟通的桥梁，在国际上已有几十年的研究历史，而我国当时的数学研究却偏重理论，离实际应用很遥远，而且理论研究也并不全面。因此他除了完成规定的课程以外，还有意识地学习偏微分方程，并听了一些与高速飞行器密切相关的流体力学课程。
早在1960年到1965年间，谷超豪已经在混合型偏微分方程方面取得了重要突破。从亚音速飞行器到超音速飞行器，这一过渡过程所对应的数学基础正是混合型偏微分方程，谷超豪对此的研究是先驱性的。可惜的是，由于当时中外学术交流所限，国际学界并未及时知晓他的成果。1973年，美国数学家代表团到复旦大学访问时才惊讶地发现他们刚刚完成的研究，谷超豪在10多年前就已经做出来了。
1959年，谷超豪拿到了博士学位，他惦念祖国的科技发展，毅然放弃了前苏联良好的研究环境，选择了回国。此时，他的研究能力和成就已经接近微分几何研究领域的顶峰了，如果继续从事微分几何研究，很快就会有新的成就。但他却不这样想，他认为，基础数学和应用数学虽然都很重要，但此时国家需要的是能够从理论运用到实践的数学，自己有这个想法，也有这方面的能力，就有责任带领同仁填补上国内偏微分方程的空缺。他把微分几何交给学生继续做，然后带着当时复旦大学数学系的几个年轻人一起转向了偏微分方程，其中一位就是李大潜。
李大潜如今已是中科院院士，复旦大学教授。他回忆那段时光，说道：“其实，当时国际上的数学主流研究还是线性方程，相关的文献浩如烟海，花费两三年时间可以做很多事情，用现在的时髦话来说，就是可以发很多顶尖的文章。但是谷先生回来后就高瞻远瞩地把研究方向定在和高速飞行器相关的超音速绕流问题上，属于非线性偏微分方程。这在当时是很难的技术难题，现在也仍然是很难的尖端技术问题。他带着我们花了一年时间就有了重大突破。15年后，当美国的希弗教授得知这些成果后，大为惊奇，因为他刚刚做完了平面机翼超音速绕流解的存在性的数学证明，想不到这个困难问题早已被谷超豪解决了，而且由他所领导的集体得到了很大的发展。”
(1) 拟线性双曲型方程组
对气体动力学方程组相应于激波现象的间断解的研究，最早可追溯到G·F·B·黎曼(Riemann，1860)。到二十世纪40—50年代，出现了R·库朗(Courant)和K·O·弗里德里希斯(Friedrichs)的经典著作《超音速流与激波》(Super sonlcnow and shock Waves)，并掀起了研究拟线性双曲组的间断解的热潮。在单个方程方面，二十世纪50年代已在理论上得到了完满的解决；但在方程组方面，当时大家还只对分段常数的数据及直边界的情形能得到结果。而像平面超音速尖头绕流这类重要的实际问题，却只有弯曲边界及非常数的数据，如何确定含微波的流场，成了迫切需要解决的问题。谷超豪在60年代初期就针对等嫡及不等熵这两种情况分别成功地解决了上述的绕流问题。事隔十几年之后，美国数学家G·谢菲尔重新得到这一结果。谷超豪和他的合作者还系统地解决了可化约双曲组具分段光滑初始数据的初值问题(广义黎曼问题)的局部间断解的构造问题。这些都是关于拟线性双曲组的局部间断解理论的最早结果。在这些研究中，通过适当变换将未知的激波变为已知的边界以及设法化约掉中心波的多值性奇点的思想方法，一直在间断解的研究中发挥着作用。在这些工作的基础上，他的学生对一般的二自变数的拟线性双曲组建立了关于局部间断解的完整理论。谷超豪还对现今已有很大发展的拟线性双曲组的整体经典解理论做了先驱性的工作——他在1960年发表的一篇论文中，就已对拟线性可化约双曲组的柯西问题给出了在6＞0上存在整体经典解的一个充分性条件。4年后，即1964年，美国著名数学家P·D·拉克斯(Lax)给出了一个类似的结果。
(2) 正对称方程组理论
正对称方程组理论是美国著名数学家弗里德里希斯于1958年提出来的，它突破了偏微分方程古典分类的限制，借助于能量积分的方法，用统一的观点处理一大类偏微分方程的定解问题，有着广泛的应用。但原有的理论只限于线性的情形，而且只停留在广义解的范围。谷超豪在1963—1964年间，首先建立了正对称方程组的高阶可微分解的理论，为利用这一理论得到偏微分方程的经典解奠定了基础，并由此建立了拟线性正对称方程组的理论，还对许多重要的偏微分方程指明了化为正对称组的可能性及具体方法，大大充实和拓宽了正对称方程组理论的框架和应用范围，将这一理论推进到一个新的高度。
