11.解析几何的问世
1617年，荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生，他就是伟大的数学家笛卡尔。
一天，部队开到布雷达城，无所事事的笛卡尔漫步在大街上，忽然看见一群人围在一起议论纷纷，原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说，谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡尔出于好奇心抄下题目，回到军营，专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研，两天后，他终于求得了答案，由此使他数学天才初露锋芒。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡尔的才华，劝他说：“你有深厚的数学基础，才思敏捷，很适合数学研究。离开军队吧，我相信你将来会成功的。”
笛卡尔没有离开军队，但仍然迷恋数学，尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题，还有一个很古老的传说：
大约是2300多年前，古希腊的第罗斯岛上，一场可怕的瘟疫正在蔓延，人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求：“万能的神啊，请赐予我们平安吧！”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说：“我忠实的信徒们，神在保佑着你们，只要你们把上供的正方体祭坛，在不改变原来形状的情况下，把它的体积增大到原来的两倍，神就会高兴，就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛，他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说：“这哪里是原来的两倍，这是原来的八倍了。神不高兴啊！”
人们听后赶忙拆了重建，他们把体积改成了原来的两倍，可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道：“该死的信徒们，你们怎么把祭坛的形状改变了呢，这不是戏弄神吗？当心还有更大的瘟疫！”
惊慌失措的人们急忙去找着名的学者柏拉图，把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画，也同样找不到正确的办法，于是，立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来，希腊人又碰到了把一个已知角分成三等分和化圆为方问题（即求一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积）。
从此，立方倍积、三等分角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家，不少人为此呕心沥血，穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。
笛卡尔认真总结前人的大量经验教训后猜想，古希腊三大几何难题，采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢？应该另找一条道路才是。
1621年，笛卡尔退出军界，与数学家迈多治等朋友来到巴黎，潜心研究数学问题。1628年，他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰，进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。
一天，疲惫不堪的笛卡尔躺在床上，望着天花板思考着数学问题。突然，他眼前一亮，原来，天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题，终于找到了答案。他兴奋地爬了起来，迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律，如果在平面上画出两条交叉的直线，假定这两条直线互成直角，那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置，就可以建立起点的坐标系。
这个发现的基本概念简单到近乎一目了然，但却是数学上的伟大发现。它就是建立了平面上点与坐标（x、y）之间的对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此，笛卡尔还用代数方程描述几何图形，用几何图形表示代数方程的计算结果。于是，创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。
解析几何的诞生，改变了从古希腊以来，延续两千年的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学的巨大发展。虽然，笛卡尔在有生之年没有解开古希腊三大几何问题，但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。
解析几何的重大贡献，还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展，天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如，要确定船只在海上的位置，就要确定经纬度；要改善枪炮的性能，就要精确地掌握抛物体的运行规律。所有这些，涉及到的已不是常量而是变量。
12.和牛顿比肩的数学家
1684年，《学术学报》上发表了德国数学家莱布尼茨的一篇文章，宣布他发现一种微分法，即“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”，1686年，他又发表了类似的文章，讨论“潜在的几何与分析不可分和无限”等。一年以后，物理学家牛顿出版了他的巨着《自然哲学之数学原理》，也谈到了他研究的求极大与极小的问题。实际上，他们俩人都发现了微积分的数学原理。于是，就有关创立微积分的优先权问题，发生了一场激烈的争论。遗憾的是，由于人们不明真相，使30多岁的莱布尼茨长期蒙受冤屈。1699年，瑞士数学家法蒂奥德迪利给皇家学会写文章，说莱布尼茨的思想获自牛顿。接着，不少科学家接踵而至，都说莱布尼茨不是发明者。萨维尔天文学教授凯尔，则指控莱布尼茨是剽切者。为此，莱布尼茨参与了争论，辩白自己的冤枉。但没有人相信他。1716年11月14日，莱布尼茨含冤逝世，朝廷竟不闻不问，教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。
直到莱布尼茨死后，英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题，专门成立了调查评判委员会。经过长期调查，终于弄清事实，委员会在《通讯》上宣布，牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同，实质上是一回事，他俩都是微积分的发明人。
原来事情是这样的，1676年，牛顿在写给莱布尼茨的信中，宣布了他的二项式定理，提出了根据流的方程求流数的问题。但在他们交换的信件中，牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法，以及作切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道，他也发现了一种同样的方法，并诉说了他的方法。这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是：牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分；而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高出一筹。但莱布尼茨的表达式采用的数学符号，既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质，远远优于牛顿。因此，他们二人发明微积分各有千秋。
莱布尼茨1646年6月21日出生于德国东部的莱比锡城。他的父亲是哲学教授，但在他6岁时父亲就过早去世了。然而，父亲留下的大量藏书却为莱布尼茨提供了丰富的知识源泉。
莱布尼茨8岁入学，少年时就可以用多种语言表达思想。15岁时考入有名的莱比锡大学，开始对数学发生兴趣。1666年，莱布尼茨转入纽伦堡的何尔道夫大学。这一年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》，显示了他的数学才华。这篇论文，正是近代数学的一个分支“数理逻辑”的先声，他也因此成为数理逻辑的创始人。
大学毕业后，莱布尼茨获得法学博士学位，投身外交界。1672年3月他作为大使出访法国巴黎，为期4年。在巴黎工作之余钻研数学，结识了荷兰数学家惠更斯。并利用业余时间攻读笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原着。为他步入数学王国的殿堂打下了坚实的基础。
1676年，莱布尼茨到汉诺威，在那里他博览群书，创立了微积分的基本概念和运算方法，成就了他一生最伟大的发明。
莱布尼茨陆续创立了一些表示微积分的符号：dx表示微分，即拉丁文“differentia”的第一个字母，意为“分细”。∫表示积分，即拉丁文“summa”的第一个字母“s”拉长，意为“求和”。他创立的这些符号，为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用。这些符号一直用到今天。
此外，莱布尼茨还提出了使用“函数”一词，首次引进了“常量”，“变量”和“参变量”，确立了“坐标”、“纵坐标”的名称。他对变分法的建立及在微分方程、微分几何、某些特殊曲线（如悬链曲线）的研究上都做出了重大贡献。
13.双目失明者创造的“欧拉时代”
1707年4月15日，瑞士巴塞尔城附近的里恩村，有一位叫保尔·欧拉的牧师家里诞生了一个男孩，这就是后世称其为“百科全书式的数学家”欧拉。
小欧拉自幼聪颖，7岁那年，父亲把他送到巴塞尔神学校去学习神学。起初，他对上帝创世深信不疑。一次，他问老师：“天上有多少颗星？”老师答不出来，只是说：“天上的星星都是上帝亲手嵌上去的。”于是，小欧拉问：“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”他对上帝的信仰开始动摇，也不专心听课了。不久，学校开除了他。
父亲保尔通数学，见儿子不愿学神学，就开始向他传授数学知识。小欧拉如鱼得水，立刻入了迷。
1719年，欧拉12岁。父亲为了考一考儿子的能力，正赶上家里要修羊圈。于是，他给出了一个固定长度，让欧拉围成一个面积最大的方形羊圈。欧拉想来想去，把它围成了一个正方形。于是，小欧拉“巧围羊圈”的故事不胫而走，被巴塞尔大学的着名数学教授伯努利约翰知道了。这位教授竟亲自出城，找到欧拉的父亲，说要保举小欧拉去大学学数学。老欧拉却说：“教授，我希望他将来是一位神学家，而不是数学家。”约翰说：“可你知道吗，这孩子是个数学天才。如果你固执己见，会葬送这孩子的前程。”
在约翰教授的劝说下，老欧拉终于点头了，13岁的小欧拉被巴塞尔大学破格收录了。欧拉不负老师厚望，入学后勤奋好学，广闻博览，又善于独立思考，不久就可以与那些年龄大的同学比肩。他的老师约翰则根据他的特点因材施教，循循善诱，每周六的下午都挤出时间为他个别辅导，使他的学业突飞猛进。17岁时，欧拉便成为巴塞尔大学第一位最年轻的硕士。1726年，欧拉发表了讨论船桅最佳位置选择的论文，荣获巴黎科学院的奖金。
1727年，欧拉由丹尼尔推荐，受俄罗斯女王叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院长，做丹尼尔的助手。1733年，丹尼尔回国，欧拉接替丹尼尔的工作，成为数学教授及彼得堡科学院的学部领导人。由于当时俄国统治集团长期陷入权力之争，无心科学事业，科学院的生存岌岌可危。1733年至1741年，欧拉的工作条件相当艰苦。他的许多不朽着作，都是在“膝上坐着孩子，肩上趴着猫”的情况下写出来的。欧拉还担负着许多社会责任，如承担菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定，为俄国学校编写教材，帮助政府绘制地图，制定度量衡标准，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析……由于他长期疲劳工作，又长期观测太阳，使他的视力迅速衰退。1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明了。就在这时，有关“七桥问题”传入彼得堡科学院，欧拉出于对数学的热爱，又潜心研究起“七桥问题”。
“七桥问题”是古希腊人留下的一道难题。18世纪初，波罗的海沿岸的古城哥尼斯堡（今加里宁格勒），普雷格尔河横贯市区。这条河在市区内分成两个支流，把奈发夫岛截成两段并把两岛环抱起来，形成了一个美妙的“8”字。有好事者根据古人的“七桥问题”，就在这里建起了七座桥，把两个小岛和两岸连接起来。
于是，这个问题直观地摆在游人面前：一个人怎样才能一次走过七座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点。
从此，无论是稚气未退的少年还是白发苍苍的老者，都想试一试自己的智力。他们在这七座桥上穿来走去，但都没有一个人能成功过。因此，这七座桥便很快地名扬欧洲，又引来一批批游客。但是，又有多少年过去了，还是没人成功。
这时，29岁的独眼青年欧拉也来到了哥尼斯堡，他在桥上走了几次之后，想道：“千百万人的无数次失败，是不是说明这样的走法根本就不存在呢？”
猜想是需要证明的。于是，欧拉埋头对这个猜想进行证明。他先用“穷举法”，即把所有可能的走法列成表格，逐一检查哪种走法能行得通。结果他发现这是一件相当繁琐的事情，要列出7×6×5×4×3×2＝5040条路线来！这太困难。另外，他又想到，如果存在更多的桥，或一个城市有更多的街道，那可如何列呀？
于是，他换了一种思维方式，想到了莱布尼茨的“位置几何学”。经过细心推想，他把两个小岛和两岸陆地看成A、B、C、D四个点，而把7座桥看成是7条线，就画成了一幅图：
由于此图有点像蝉，所以后人称之为“欧拉金蝉”。通过这个图形，欧拉严谨地证明：不可能不重复地一次走遍这7座桥。
很明显，“七桥问题”是一个几何图形问题。但是，在此之前的传统几何学却把它排除在外，因为人们所熟知的几何理论，都是与“量”（长短、大小等）有关，而这个问题居然与“量”无关。“七桥问题”提出了一个新的几何学的分支——“拓扑学”。欧拉一举证明了“七桥问题”一时引起人们的敬慕和惊叹，求教的人络绎不绝。后人称他为“拓扑学的鼻祖”。接着，欧拉又继续研究，他的几何学超出了欧几里得的范围，从而奠定了“网络论”几何学科的基石。
