导语：数字谜题巧妙算
在这一章你将看到《孙子算经》谈及的四类计算问题：约分、乘方、开方以及方程运算。可能你早已从学校教育中积累了这样的感受——这些内容简单而枯燥，但是读了这一章，你会发现神奇的数字魔方可以组合出新的、有趣的、令你难以置信的色彩和图案。古代的约分法有什么特别之处？乘方运算如何改变了古人对世界的认识？古人是如何在没有任何电子计算工具的帮助下给任意数口算开方的？古代方程与今天的方程存在怎样的差异？当你找到这几个问题的答案时，你会发现自己已经获得了更加充沛的思维能量。
“原题”
今有一十八分之一十二。问约之得几何？（选自《孙子算经》1卷中）
“译文”
约分得多少？
“解答”
约分得（）。
你一定觉得这道题已经简单的没有练习的必要了。的确，对于数学运算能力被大大开发的现代人来说，解答这个问题易如反掌。不过，《孙子算经》提供给这道题的解答方法却与我们现在惯用的方法不同，非常值得一提的。
《孙子算经》是这样描述这道题目的解法的：“置十八分在下，一十二分在上。副置二位，以少减多，等数得六，为法。约之，即得。”这几句话的大致意思是：在分数（）中，分母18在下，分子12在上。约分时重新安排分子、分母的位置（多将两数并排放置），从较大的数18中减去较小的数12，求出最大公约数6，以6作为除数，分别去除18和12，所得结果即为所求。
你一定有些疑惑：答案尽管正确，可是这么做是否科学呢？怎么能用减法求最大公约数呢？其实，《孙子算经》提供的这种相减约分法是非常科学的，甚至现代的一些数学家都更倾向于它——而不是我们今天惯常使用的方法，解答一般的约分问题。《孙子算经》的这道例题因为数字太简单，因此并没有把古代的相减约分法阐述清楚。这种相减约分法的“学名”是“更相减损法”，“更相减损”是指在求两数的最大公约数时，不断用两数以及两数差中的大数去减相对较小的数，直到最后得出一个相等差，这个差叫“等数”，也就是我们今天所称的“最大公约数”。
我们将这道题的“更相减损”过程演算出来是这样的：
18 12
18-12=6 12-6=6
的分子分母只更相减损了一次便得到了“等数”6，所以没能淋漓尽致地展现古代算数约分算法的精髓，下面我们来看几道计算过程稍复杂些的约分题。
1.用古代算法为（）约分
“原题”
九十一分之四十九。问约之得几何。（选自《九章算术》）
“译文”
约分得多少？
“解答”
先依照更相减损法，求91和49的最大公约数，运算过程如下：
91 49
91-49=42 49-42=7
42-7=35
35-7=28
28-7=21
21-7=14
14-7=7
要想求91和49的最大公约数，先将两数分列。从大数91中减去小数49，差为42；再从49中减去小数42，等于7；进而从42中连减5个7，直到差等于7为止。7便是91和49的等数——也即最大公约数。
用7分别去约简分母91和分子49，约分的结果是（）。
因此，（）约分得（）。
2.用古代算法为（）约分
首先，用“更相减损法”求“等数”
120 18
120-18×6=12 18-12=6
12-6=6
6即是120和18的“等数”，用它来约简原分数，得（）。
3.用古代算法为（）约分
首先，用“更相减损法”求“等数”
27759 10227
27759-10227×2=7305 10227-7305=2922
7305-2922×2=1461 2922-1461=1461
1461即是27759和10227的“等数”，用它来约简原分数，得（）。
