“原题”
今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬九家共输租。甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛。凡九家共输租一千斛，僦运直折二百斛外，问家各几何？（选自《孙子算经》1卷下）
僦（jiù），运输，也指运输费。直，价值。折，折算。
“译文”
现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬九家一同运送租粮。甲出35斛、乙出46斛、丙出57斛、丁出68斛、戊出79斛、己出80斛、庚出100斛、辛出210斛、壬出325斛。这九家每输租1000斛就要将其中200斛折作运费。问如此折算后每户实际输送租粮多少斛？
“单位换算”
1斛=10斗
“解答”
因为每输租1000斛，就要将其中200斛折作运费，因此九家实际输租800斛。折算到每家后，每家实际输租（）×每家应输租=（）×每家应输租，因此，
甲实际输租：（）×35=28斛
乙实际输租：（）×46=36.8斛=36斛8斗
丙实际输租：（）×57=45.6斛=45斛6斗
丁实际输租：（）×68=54.4斛=54斛4斗
戊实际输租：（）×79=63.2斛=63斛2斗
己实际输租：（）×80=64斛
庚实际输租：（）×100=80斛
辛实际输租：（）×210=168斛
壬实际输租：（）×325=260斛
因此，甲输28斛、乙输36斛8斗、丙输45斛6斗、丁输54斛4斗、戊输送63斛2斗、己输64斛、庚80斛、辛输168斛、壬260斛。
1.四县输粟
“原题”
今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近，户数多少，衰出之。问粟、车各几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今按户数征收公粮，摊送粮车辆：甲县有10000户，距离收粮站要走8日；乙县有9500户，距离收粮站要走10日；丙县有12350户，距离收粮站要走13日；丁县有12200户，距离收粮站要走20日。四县应交公粮250000斛，用10000辆车来运这些粮食。如果按道路里程的远近、各县户数的多少，按比例分摊，问四县运粮、派车各多少？
“解答”
首先，应该明确，各县分派到的运粮量应与户数成正比、与道路远近成反比，也就是说，某县户数越多、距离越近，分摊到的运粮任务越多，反之同理。因此，我们需要用各县户数除以各县行路天数求出四县运粮量的比例数：
甲县：10000÷8=1250
乙县：9500÷10=950
丙县：12350÷13=950
丁县：12200÷20=610
甲县：乙县：丙县：丁县=125：95：95：61
将各县比例数合并：125 95 95 61=376
首先，求各县用车数量，用10000×（）
甲县用车：10000×（）≈3324辆
乙县用车：10000×（）≈2527辆
丙县用车：10000×（）≈2527辆
丁县用车：10000×（）≈1622辆
然后，算出每车载量，250000斛÷10000车=25斛/车
甲县运粟数：25斛/车×3324车=83100斛
乙县运粟数：25斛/车×2527车=63175斛
丙县运粟数：25斛/车×2527车=63175斛
丁县运粟数：25斛/车×1622车=40550斛
因此，甲县运粟83100斛，用车3324辆；乙县运粟63175斛，用车2527辆；丙县运粟63175斛，用车2527辆；丁县运粟40550斛，用车1622辆。
2.赵嫂织麻
“原题”
赵嫂自言快织麻，张宅李家雇了她。张宅六斤十二两，二斤四两是李家。共织七十二尺布，二人分布闹喧哗。借问卿中能算士，如何分得市无差。（选自《算法统宗》）
“译文”
擅长织麻的赵嫂受雇于张、李两家，张家为赵嫂提供6斤12两棉花，李家提供2斤4两棉花，赵嫂一共织了72尺布，问如何公平地将这些布分给张、李两家。
“单位换算”
1斤=16两
1丈=10尺
“解答”
为公平起见，分布时应按照张、李两家所提供棉花的比例来分配。先换算单位，将斤化为两，则张家提供了16×6 12=108两棉花，李家提供了16×2 4=36两棉花，108 36=144两，张家占了144份中的108份，李家占了144份中的36份。根据张李两家提供棉花的比例：
张家分得布：72×（）=54尺=5丈4尺
李家分得布：72×（）=18尺=1丈8尺
因此，张家分得5丈4尺布，李家分得1丈8尺布。
3.分橘子
甲、乙、丙三家约定9天之内各打扫3天楼梯。丙家由于有事，没能打扫，楼梯就由甲、乙两家打扫，这样甲家打扫了5天，乙家打扫了4天。丙回来以后就以9斤橘子表示感谢。
请问：丙该怎样按照甲、乙两家的劳动成果分配这9斤橘子呢？
在帮丙家打扫楼梯的3天中，甲家打扫2天，即干了丙家任务的（）；乙家打扫1天，即干了丙家任务的（）。按劳动量分配橘子，甲家应得9×（）=6斤，乙家应得9×（）=3斤。
“原题”
今有三鸡共啄粟一千一粒。雏啄一，母啄二，翁啄四。主责本粟。三鸡主各偿几何？（选自《孙子算经》30卷下）
“译文”
三种鸡一共吃掉1001粒粟。已知小鸡每吃1粒，母鸡吃2粒，公鸡吃4粒。粟主要求鸡主赔偿损失。三种鸡的主人各应偿还多少粟？
“解答”
三鸡主应根据三种鸡所吃粟的比例赔偿粟主，根据已知，三种鸡吃粟的比例为1：2：4，则三鸡主应偿还粟的数量分别是：
小鸡主：1001÷7=143粒。
母鸡主：143×2=286粒。
公鸡主：143×4=572粒。
1.三畜食苗
“原题”
今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何。（选自《九章算术》）
“译文”
牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主要求三牲畜的主人赔偿他5斗粟。羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量。”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量。”现在若依据三畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主、马主、羊主各应偿还多少粟？
“单位换算”
1斗=10升
“解答”
5斗等于50升。根据羊主、马主所说，可以知道羊、马、牛所吃禾苗的比例为1：2：4，也就是说，羊吃了7份中的1份，马吃了7份中的2份，牛吃了7份中的4份，根据三畜吃苗的比例分配赔偿，三牲畜的主人各应偿还的粟的数量是：
羊主：50升÷7=7（）升。
马主：7（）升×2=1斗4（）升。
牛主：7（）升×4=2斗8（）升。
2.三畜食谷
“原题”
八马九牛十四羊，赶在村南牧草场，吃了人家一段谷，议定赔他六石粮。牛一只，比二羊，四牛二马可赔偿，若还算得无差错，姓氏超群到处扬。（选自《算法统宗》）
“译文”
8匹马、9头牛、14只羊吃了别人的谷子，三种牲畜的主人被要求赔偿谷子主人6石粮食。1头牛所需赔偿的量等于2只羊所需赔偿的量，4头牛所需赔偿的量相当于2匹马所需赔偿的量。求马、牛、羊的主人各应赔偿多少粮食。
“单位换算”
1石=10斗
1斗=10升
1升=10合
1合=10勺
“解答”
此题所描述的情境与上题相似，只不过三类牲畜的数目不再相同，在考虑按比例分配赔偿时，不能忽略三类牲畜的头数。根据已知“牛一只，比二羊，四牛二马可赔偿”，可以推知1羊、1牛、1马所需赔偿的粮食数量比为1：2：4，那么，14羊、9牛、8马所需赔偿的粮食数量比就是14：18：32.据此，可以把赔偿的粮食总量分成14 18 32=64份，羊主需偿还其中的14份，牛主偿还18份，马主偿还32份，因此，
马主应赔偿：6×（）=3石。
牛主应赔偿：6×（）=1.6875石=1石6斗8升7合5勺。
羊主应赔偿：6×（）=1.3125石=1石3斗1升2合5勺。
“原题”
今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分分之，八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问三种各得几何？（选自《孙子算经》24卷中）
“译文”
现有钱6930，欲让216人分9份分这些钱，81人每人分得2份；72人每人分得3份；63人每人分得4份。问这三类人每人各得多少钱？
“解答”
根据已知，6930钱可被分成81×2 72×3 63×4=630等份，则，
81人每人得钱：6930×（）=22钱。
72人每人得钱：6930×（）=33钱。
63人每人得钱：6930×（）=44钱。
五人分粟
“原题”
今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今发粟5斛，5个人分，其中有3人每人得3份，有2人每人得2份。每人各得粟多少？
“单位换算”
1斛=10斗
1斗=10升
“解答”
根据已知，5斛粟可以被分成3×3 2×2=13等份，则
得3份的3人，每人得粟：5×（）=（）斛=1斛1斗5（）升。
得2份的2人，每人得粟：5×（）=（）斛=7斗6（）升。
“原题”
今有女子善织，日自倍。五日织通五尺。问日织几何？（选自《孙子算经》27卷中）
“译文”
有一女子很会织布，她每天织布的数量是前一天的一倍。五天共织布5尺，问这五天她每天各织多少布？
“单位换算”
1尺=10寸
“解答”
将该女子五日每天所织布的比例数（第一天为1、第二天为2、第三天为4、第四天为8、第五天为16）相加，等于31，作为分母。用5尺乘以每天织布的比例数，作为分子。分子除以分母，即能求出每天织布的数量：
第一天织布：50寸×（）=1（）寸
第二天织布：50寸×（）=3（）寸
第三天织布：50寸×（）=6（）寸
第四天织布：50寸×（）=1尺2（）寸
第五天织布：50寸×（）=2尺5（）寸。
五官分鹿
“原题”
今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？（选自《九章算术》）
“译文”
大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公士五人共猎得5只鹿。如果按照爵次高低分配猎物，他们每人分得多少猎物？
“解答”
按照五官爵次由高到低的顺序分配猎物，则大夫、不更、簪褭、上造、公士分得猎物的数量比是5：4：3：2：1，5 4 3 2 1=15.因此，大夫分得猎物总量的（）（（）），不更得总量的（），簪褭分得（）（（）），上造分得（），公士分得（），则：
大夫得鹿：5×（）=1（）只
不更得鹿：5×（）=1（）只
簪褭得鹿：5×（）=1只
上造得鹿：5×（）=（）只
公士得鹿：5×（）=（）只。
五人分钱
“原题”
今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今有5人分5钱，如果使上2人与下3人所得钱数相等，问每人分得多少钱？
“解答”
这道题目的题干不仅明确要求上2人与下3人所得钱数相等，而且还隐含着着五人所得钱数逐级递减的条件——从上到下，5人所得钱数由多至少，比例为：5：4：3：2：1，上2人比例之和为9，下3人比例之和为6，两者之差是3.为保证此两者相等，在5人原比值的基础上分别加3，得5人从上到下的比值是8：7：6：5：4，此时上2人的比值之和与下3人的比值和相等，都是15.因为五人得钱的比例之和是8 7 6 5 4=30.
甲（上第1人）得：5×（）=1（）钱
乙（上第2人）得：5×（）=1（）钱
丙（下第3人）得：5×（）=1钱
丁（下第2人）得：5×（）=（）钱
戊（下第1人）得：5×（）=（）钱
“原题”
今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人别加三颗。问五人各得几何？（选自《孙子算经》25卷中）
“译文”
公、侯、伯、子、男五等诸侯，分60个橘子。已知，等级每下降一等就少得3个橘子。问五位诸侯各分得多少个橘子？
“解答”
这是《孙子算经》中的另外一道题目，虽然也是若干人按照等级高低分配物品，但却不是按照一定比例、而是按照数量递增或递减分配，他们分得物品的个数程等差数列的形态。
根据已知，五等诸侯所得的橘子数量随他们级别的高低每升一级增加3个，因此，可以先按照等级由低到高的次序，分给男3个橘子，子6个，伯9个，侯12个，公15个。这些已经分出的橘子加在一起共有45个。然后，用60减45得15，是剩下未分的橘子。最后，把这15个剩下未分的橘子平分给五位诸侯，每人再各得3个橘子。加上一开始分到的橘子，公得到18个，侯得到15个，伯得到12个，子得到9个，男得到6个。
《孙子算经》提供的这种思路是不是非常巧妙？对于这类问题，人们惯常的思路是先求出每个人都会得到的最基本的量——也就是男分到的橘子数，然后再逐级加3，依次求子、伯、侯、公分得的橘子个数。但是《孙子算经》却反其道而行，一上来就先把“人别加三颗”的问题解决了，然后才将每个人都会得到的基本量平均分配下去。
不过，这里有一点需要说明，孙子的算法其实存在一个小小的疏漏：分配不应该从男开始，而应该从子开始。首先分给子3个，伯6个，侯9个，公12个，因为问题所述“人别加三颗”的规律是从处于倒数第二等级的子开始的，级别最低的男初始分得多少个橘子是未知的，而孙子一开始就确定男至少可以分得3个橘子，是不妥当的。让我们继续把刚才的求解过程补充完整：3 6 9 12=30，用橘子总数60减去30等于30，把剩下的30个平均分给五个诸侯，每人再分得6个，这让公分得12 6=18个，侯分得9 6=15个，伯分得6 6=12个，子分得3 6=9个，男分得0 6=6个。答案依然是正确的。这样做不仅方法同样巧妙，思路也更严谨。
接下来你将看到一系列需要应用逆向思维求解的题目：
这句话对吗？
皮皮对琪琪说：“我能将100枚围棋子装在15只塑料杯里，每只杯子里的棋子数目都不相同。”这句话对吗？
肯定不对。
从第一只杯子里放1枚棋子算起，要想数目不同只能是把2、3、4……放入后面相对应的杯子里，这样得出15只杯子全不相同，最少所需的棋子数是1 2 3 4…… 15=120.现在只有100个棋子，当然是不够装的。
“原题”
今有器中米，不知其数。前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问本米几何？（选自《孙子算经》19卷下）
“译文”
容器中有一些米，不知道具体有多少。当第一个人取走它的（）、第二个人取走第一个人剩下的（），第三个人取走第二个人剩下的（），余下1斗5升米。问原来有多少米？
“单位换算”
1斗=10升
“解答”
这道题我们可以应用逆向思维，从“余米”入手逐步求“本米”，这样问题就会变得简单很多：
首先，把1斗5升换算为1.5斗，用1.5斗米除以与之相对应的最后一个人取米之后所剩大米的分数比：1.5÷（1-（））=1.5×（）=2斗，2斗是第二个人取米之后的“余米”量。依照同样的思路，用2斗米除以它所对应的分数比值：2÷（1-（））=2×（）=3斗，3斗是第一个人取米之后的“余米”量。最后用3×2=6斗，6斗即是“本米”的数量。
因此，原来有6斗米。
1.持米过关
“原题”
今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问本持米几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今有人持米连出三关，外关收税米（），中关收（），内关收（），经过三关后剩下5斗米。问此人原来有多少米？
“单位换算”
1斗=10升
“解答”
因为连出三关后余米5斗，可逐步回溯：
入内关前有米：5÷（1-（））=5×（）=（）斗
入中关前有米：（）÷（1-（））=（）×（）=（）斗
入外关前有米：（）÷（1-（））=（）×（）=（）=10斗（）升
因此，此人原来有10斗（）升米。
1.李白沽酒
我国唐代大诗仙李白才华横溢，放荡不羁。为了尽兴，他不惜散尽千金买酒钱，更是经常醉卧花间。后人便根据李白的这一特点编了如下一道算数题：
无事街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗。
三遇店和花，喝光壶中酒。
试问壶中原有多少酒？
这虽然不是一道严格意义上的分配问题，但它所描述的情境与上面两题——“三人分米”、“持米过关”有很多相似之处，因此便放在这里，加深大家对逆推思维的理解。与前两题不同的是，本题除了向外缴纳的过程，还有不断向内添加的环节，所以情况更加复杂。不过，我们依旧可以采用逆向思维的方法，从结局推及初始，从已知推及未知。这里，我们不妨把思维演进图描画出来：
喝光壶中酒
由此可知，李白的酒壶中原有（）斗酒。你做对了吗？
2.有多少个苹果
大明、老张、小李三个好伙伴在城里打工，年底合买了一堆苹果准备给家人带回去，然后三人都躺下睡起觉来。过了一会儿大明先醒来，看看另两个人还在睡觉，便自作主张将地上的苹果分成3份，发现还多一个，就把那个苹果吃了，然后拿着自己的那份走了。老张第二个醒来，说道：“怎么大明没拿苹果就走了？不管他，我把苹果分一下。”于是他也将苹果分成3份，发现也多一个，也把多的那个给吃了，然后拿着自己的那份走了。小李最后一个醒来，奇怪两个伙伴怎么都没拿苹果就走了，于是又将剩下的苹果分成3份，发现也多一个，便也把它吃了，拿着自己的那份回家了。
请问，一开始最少有多少个苹果？
解题方法可倒推：
（1）假定最后剩下的两份为2个即每份1个，则在小李醒来时共有4个苹果，在老张醒来时共有7个苹果，而7个苹果不能构成两份，与题意不符合。
（2）假定最后剩下的两份为4个即每份2个，则在小李醒来时共有7个苹果，也与题意不符合。
（3）假定最后剩下的两份为6个即每份3个，则在小李醒来时共有10个苹果，在老张醒来时共有16个苹果，而大明分出的三份苹果，每份有8个苹果，此外还多余一个。
因此，一开始最少有25个苹果。
3.守财奴的遗嘱
一个守财奴生前积累了很多金条，可他到临死的时候也舍不得分给儿子们。为此，他写了一份难解的遗嘱，儿子们要是解开了这个遗嘱，就把金条分给他们，要是没有解开，金条就永远被藏在无人知晓的地方。他的遗嘱是这样写的：我所有的金条，分给长子1根又余数的（），分给次子2根又余数的（），分给第三个儿子3根又余数的（）……以此类推，一直到不需要切割地分完。你能算出守财奴一共有多少根金条，多少个儿子吗？
从末尾开始，最小儿子得到的金条数目，应等于儿子的人数。金条余数的（）对他来说是没有份的，因为既然不需要切割，在他之前就已经没有剩余的金条了。
接着，第二小的儿子得到的金条，要比儿子人数少1，并加上金条余数的（）。这就是说，最小儿子得到的是这个余数的（）。从而可知，最小儿子所得金条数应能被6除尽。
假设最小儿子得到了6根金条，那就是说，他是第六个儿子，那人一共有6个儿子。第五个儿子应得5根金条加7根金条的（），即应得6根金条。
现在，第五、第六两个儿子共得6 6=12根金条，那么第四个儿子分得4根金条后，金条的余数是12÷（）=14，第四个儿子得4 （）=6根金条。
现在计算第三个儿子分得金条后金条的余数：6 6 6即18根，是这个余数的（），因此，余数应是18÷（）=21.第三个儿子应得3 （）=6根金条。用同样方法可知，长子、次子各得6根金条。
我们的假设得到了证实，正确的答案是：守财奴一共有6个儿子，每人分得6根金条，金条一共有36根。
有没有别的答案呢？假设儿子数不是6，而是6的倍数12.但是，这个假设行不通。6的下一个倍数18也行不通，再往下就不必费脑筋了。
1.遗产该怎么分
一位古希腊寡妇要把她丈夫遗留下来的3500元遗产同她即将出生的孩子一起分配。如果生的是儿子，那么按照古希腊的法律，母亲应分得儿子份额的一半，如果生的是女儿，母亲就应分得女儿份额的2倍。可是如果生的是一对双胞胎——一男一女，遗产又该怎么分呢？这个问题把律师给难倒了。聪明的你知道遗产该怎么分吗？
2.遗书分牛
一农场主在遗书中写道：妻子分全部牛的半数加半头，长子分剩下牛的半数加半头，次子分再剩下牛的半数加半头，幼子分最后剩下牛的半数加半头。
结果一头牛没杀，一头牛没剩，正好分完。农夫留下几头牛？
3.巧妙分马
一个拥有24匹马的商人给3个儿子留下“传给长子（），传给次子（），传给幼子（）”的遗言后就死了。但是，在这一天有1匹马也死掉了。这23匹马用2，3，8都无法除开，总不能把一匹马分成两半吧？这真是个难题。你知道应该怎样解决吗？
§§第五章 “商务通”，脑中安
