◆非欧几何的建立
近代几何学是从高斯、罗巴切夫斯基等人对欧几里得的《几何原本》第五公设即平行公设的证明开始的。自从托勒密企图证明这一公设以来，一直未取得进展。近代初期，勒让德、拉格朗日、达兰贝尔等人都曾试图证明平行公设，但都归于失败。
高斯突破了传统证明方法，提出了非欧几何的有关思想。1826年2月23日，德国数学家罗巴切夫斯基在喀山大学公开声明欧氏第五公设是不可证明的，并提出用另一条相反定理来代替它，即“过直线外的一点至少有两条直线与已知直线平行”。罗巴切夫斯基通过逻辑推理，得出了一系列与欧氏几何完全不同的结果。如两条平行线之间的距离处处不等，三角形三内角之和小于180度。同一条直线的斜率和垂线不一定相交等等。与此同时，匈牙利数学家鲍耶也独立地创立了非欧几何。鲍耶鉴于自己的失败教训，一再告诫他的儿子停止这项工作。但是小鲍耶的努力成功了。非欧几何的建立突破了人们传统的平直空间观念，引起了几何学的一场革命。
◆非欧几何的发展
继罗巴切夫斯基以后，德国数学家黎曼进一步发展了非欧几何。1854年，他提出了著名的“黎曼几何”思想。黎曼几何引进了两条公理：(1)凡直线都能相交；(2)直线不能无限延长，用以代替欧氏几何的有关直线公理，从而推导出另一个非欧几何体系。在黎曼几何中，过直线外的一点可以作已知直线的无数条垂线。三角形三内角之和大于180度，等等。黎曼几何对于大尺度空间有着重要意义。欧式几何、罗氏几何和黎曼几何分别描述了不同的时空范围，欧式几何可以看作非欧几何在小尺度范围的近似。
非欧几何的诞生，开拓了一个新的几何领域。由此而来的各种新的几何空间不断出现，这些理论在力学、物理学，特别是相对论中发挥了重要作用。
◆多产数学家欧拉
欧拉(1707～1783)是伟大的瑞士数学家及自然科学家。欧拉出生于牧师家庭，而他对数学最感兴趣。1727年，欧拉应邀到俄国，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面做了大量出色的工作。但大量的写作却使他在1735年右眼失明。1741年，他又应邀到柏林科学院工作达25年之久。欧拉这个时期在微分方程，曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1771年，欧拉的左眼也完全失明。然而由于他惊人的记忆力和心算技巧使他的创造力继续得到发挥，直至生命的最后一刻。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上做出伟大贡献，而且把数学应用到几乎整个物理领域。他又是一个无与伦比的多产作者，他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。
欧拉最大贡献是扩展了微积分的领域，为分析学的一些重要分支与微分几何的产生和发展奠定了基础。欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
◆“数学之王”高斯
高斯(1777～1855)与牛顿和阿基米德被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以与阿基米德、牛顿与欧拉并列，有“数学之王”之称。
他幼年时就表现出超人的数学天才。18岁他进入格丁根大学学习，大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题。22岁时因证明代数基本定理而获博士学位。
高斯的数学成就遍及各个领域，在数论、代数学、非欧几里得几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有一系列开创性贡献。高斯的数论研究总结在1801年出版的《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理。
