如果说牛顿和弗兰姆特斯持续十年的争论还只是个人的成见之争，那么，牛顿和莱布尼茨之争则发展为国际之争，持续时间将近两个世纪。这场为争夺微积分的优先发明权之争是科学史上最厉害，也是最著名的争论，给数学的发展造成了很大的影响。
莱布尼茨是和牛顿同时代的人，可能在当时是仅次于牛顿的最优秀的人物。他是德国人，第一流的数学家和著名哲学家，他才华横溢，思如泉涌，他除了研究数学和哲学外，还广泛地涉及法学、力学、光学、语言学、逻辑学等41个范畴，被誉为“17世纪的亚里士多德”。
1673年他被选为英国皇家学会会员，1700年当选为法国科学院院士，同年他创建了柏林科学院，并担任第一任院长。
莱布尼茨对数学有着极其深厚的研究，不但独立地创立了微积分，对数学的其他分支也作出过重大的贡献，对于笛卡儿的解析几何提出了很多改进意见，对行列式和包络理论做了很多基础工作。牛顿的数学研究大约始于1664年，那已经是他进入剑桥大学三年以后的事了。
主讲数学的巴罗教授可以称得上是为牛顿打开数学兴趣之门的人。巴罗教授在当年被任命为第一任卢卡斯数学教授，牛顿正是通过他主讲的数学课，产生了对数学的浓厚兴趣。
为了深入了解天体的位置和观察知识，牛顿有选择地购买了《三角学》，为了了解其中对他来说还嫌晦涩的证明，他又系统地学习了欧几里得的《几何原本》和巴罗教授所著的《欧几里得原本简证》，其时受益匪浅。
在此之后，在巴罗教授的鼓励和推动下，牛顿开始学习笛卡儿的《几何》，这本书用了他相当长的时间去领会。
就这样，在短短的几年中，牛顿阅读了大量的数学、哲学名著，大大地开阔了自己的视野，增长了知识。他对当时数学的两大分支，几何和代数领域的最新理论成就进行了充分的综合与发展，进而得出了自己的发现。
他从笛卡儿那里得到了代数符号、各种概念和计算方法，从欧几里得和巴罗教授的著作中拿来了传统的几何证明方法，与在中学和剑桥大学所学的逻辑学相综合，作出了许多伟大发现。
1664～1665年间，牛顿根据瓦里斯的极限概念和级数，发现了无穷级数。当年冬天，他又发现了在任一既定点上求曲线曲度的方法，以及化任意次方二项式为近似级数的方法。
到1665年年末，牛顿已经发明了流数和微积分，并给出了流数的表示符号。一份写于1665年5月的手稿表明，牛顿在23岁时已经充分发展了微积分的主要原理，能够用它找出任何连续曲线在任何给定点的切线和曲率。他称他的方法为“流数法”，意即“流动”或变量及其“流率”或“增长率”。
微积分的发明结束之后，在1667～1668年间，牛顿在数学领域上主要研究的是三次曲线的性质和分类，并提出了一些有关的理论问题。
1669年，牛顿写出了《论用无限项方程所做的分析》的长篇手稿，系统地总结他过去的流数和二项式定理的研究成果，当年6月，他将手稿交给巴罗教授，巴罗在以后给他的朋友——皇家学会图书馆馆员科林斯的信中提到了牛顿的发现，称赞他“对于流数的发现有杰出的才能”。
过了一个月，牛顿便将这篇论文邮寄给了科林斯，在抄录了一份副本后，科林斯将论文退还给了巴罗教授，向他在欧洲各国的朋友通知了牛顿的发现。
1664～1666年是牛顿在数学研究上的创作高峰期，但他并没有像17世纪其他有所成就的科学家通常所做的那样，把自己的研究成果通过正当渠道发表，而是将学习中的心得体会和研究成果直接写在纸上、笔记上或账本上。
这跟牛顿个人的性格有很大的关系，他十分内向、多虑，处处谨慎，从不肯多行一步路，多说一句话，这直接或间接地来源于他发表第一篇论文时所带来的麻烦。就这样，他只是在自己觉得必要的时候，才向朋友、同行透露一点自己的研究情况。
大量事实也表明，在牛顿没有正式出版自己的论著以前，他曾默许欧洲的一些科学家在极有限的范围内抄录、传播、讨论他的数学发现。这其中包括很多人，有皇家学会主席布朗克尔，秘书奥尔登伯格，英国的格里高利，法国的布尔台、弗尔农和赫留斯，其中还包括当时德国著名的科学家、牛顿后来的死敌莱布尼茨。
1672年，莱布尼茨与惠更斯有了接触，从而第一次对研究数学产生了兴趣。在那以后，他主要研究用无穷级数求圆和其他曲线的面积，并在1674年中考察了构成曲线的多边形基元之和的一般方法，发明了微积分学。
1673年，莱布尼茨访问伦敦，或者有机会在科林斯的论文中见到牛顿的包含流数原理的论文《论用无限项方程所做的分析》。
1676年，莱布尼茨再次来到伦敦，这时他还未当选皇家学会会员，通过科林斯和奥尔登伯格得知了牛顿有关流数的详细情况。此后，他与他们开始频繁通信，多次提到牛顿的数学发现，如“在给定任何曲线坐标的情况下，求出曲线的长度，图形面积，旋转体的第二次分割及反求法，给出正方形内的任一弧线，不知道原图形便可以计算对数、正弦、正切或余弦及反求法”。
这时，莱布尼茨已经多多少少地了解了一些牛顿的发现，也曾给予其很高的评价。
牛顿也曾经以大量的篇幅给向他请教的莱布尼茨叙述了二项式定理的来源和方法，级数展开法，求抛物线面积和用流数求一般曲线面积法及切线的反求法。有理由相信，这些一定会对莱布尼茨有所启发。
1684年，莱布尼茨在《学术学报》上发表了《求极大和极小及切线的一个新方法，它不受分数和无理数的妨碍并是这种情况的反常形式》，对对数进行了详细的论述，并正式提出了微分原理。但他在此部分的任何地方都没有提到过牛顿的名字，更不要说他的帮助或启发了。
1686年，莱布尼茨根据积分与微分的对立，得出算法上也应为对立的结论，将微分的规则进行变换，从而得出了积分的规则。他还运用求极大、极小和切线的方法及无穷级数法，写出了一篇奠定积分原理的论文，在《学术学报》上发表了。在这篇论文中，他第一次使用积分符号“∫”，至此，莱布尼茨完成了微积分的发明。
1665年5月，牛顿形成了自己的流数思想和表示法的，并在第二年10月给予系统阐述。而莱布尼茨是在1674～1676年间形成微分的思想和表示法的。牛顿的论文发表于1669年和1671年年初，而莱布尼茨的论文发表于1684年和1686年。
这就说明，牛顿确实要比莱布尼茨早发明微积分。发明的时间要早10年，而写成论文则要早近20年！让牛顿震惊的是莱布尼茨发表的论文中丝毫没有提及他的作用，而且一直以来，莱布尼茨都不承认曾经得到过牛顿的直接或间接的促使他发明微积分的帮助。
昨天还是虚心求教的挚友，今天摇身一变，竟然将自己的发现经过改头换面，变成了微积分的发明者！这就难怪牛顿要气恼了。
牛顿在《原理》第一版的第二卷中以三页的篇幅说明流数原理，同时在注释中提到莱布尼茨的发明系得益于自己的研究成果。此时他俩的关系还没有完全破裂。
而他们的支持者也没有想到要为各自的偶像摇旗呐喊。他们还是在通信，至少能够承认对方的发明。但在1699年，这一切都改变了。
1699年，牛顿担任造币厂厂长之后，住在伦敦的瑞士数学家法蒂欧向英国皇家学会呈交一篇论文，文中提出牛顿是微积分“第一个发明者，并且领先了好几年，而莱布尼茨这第二个发明者是否从别人那里搞了什么东西，我宁愿有我自己的判断”。
法蒂欧提出这个问题是由于他看到，莱布尼茨1684年和1686年在莱比锡的《学术学报》上，首次发表的关于微分原理和积分原理发明过程的文章中没有提到牛顿的作用及其在多年前已经取得的成果。
早在1665年鼠疫期间，牛顿就已创立了微积分的一些基本原理，他称为“流数术”，并且采用在字母上加符点的独特记法，然而牛顿没有对自己的发明及时公开。
1669年，牛顿写出了第一篇数学论文《无穷多项方程的分析》阐述了论证还不严密的微积分基本定理，送给巴罗教授看，后来印成小册子分送给朋友，直到1711年才正式出版。另外两篇分别写于1671年的《流数术和无穷级数》以及写于1676年的《曲线求积法》的重要论文分别于1736年和1704年才公开发表。
因此，牛顿公开发表他的微积分思想的最早著作是1687年出版的《原理》，但《原理》并没有应用他自己发明的在字母上面加符点的记法。他只是用几何形式初步地说明了流数原理，用以确定无限小量的比。
因而，只从公开发表的时间来讲，牛顿比莱布尼茨晚3年，但是要从发明的时间来看，牛顿比莱布尼茨要早10年。在这段时间里，莱布尼茨曾经在1673年1月当选为皇家学会会员时访问过英国，1676年10月第二次访问伦敦，同科林斯、奥尔登伯格等人均有过接触，这一点被法蒂欧所怀疑，因而写出这篇论文。
但是，这个问题由于牛顿和莱布尼茨都没有作声而搁置起来。那时他们的关系还是比较好的，都能以比较公正和冷静的态度对待对方。
莱布尼茨到英国访问，并没有得到什么秘密，因为牛顿给奥尔登伯格等人的信件中是以字迹形式阐述微积分思想的。他们两人是独自发明微积分的，只是使用的符号不同。
但是1708年，牛津大学天文学家凯尔在《哲学学报》上发表文章，再次提出牛顿是微积分的最先发明者，说1705年发表在《学术学报》上的一篇匿名文章是莱布尼茨写的，并且文章暗示微积分是流数术的改头换面。对此莱布尼茨提出控告，要凯尔公开道歉。1711年《学术学报》发表评论员文章，说牛顿是“剽窃”。
这样一来，争论的性质就发生了根本变化，由争夺优先权，到指责为剽窃，双方的争论升级。英国的学者都站在牛顿一方，欧洲其他一些国家的学者都站在莱布尼茨一方。而且在争论中双方都带上了严重的感情色彩，陷入到了狭隘的民族主义当中，好像都是为了民族尊严而战似的。
在这种情况下，牛顿的情绪也发生了转变。1712年3月，在牛顿的领导下，皇家学会专门成立了一个由哈雷等六人组成的委员会，专门负责对此事进行调查和评价。
最后他们得出结论：牛顿是微积分的第一个发明者，莱布尼茨是第二个发明者，并说牛顿的流数术内容由科林斯在信中告诉了莱布尼茨。实际上这是暗示莱布尼茨有剽窃之嫌，带有很大的倾向性。
当莱布尼茨向皇家学会申诉这对他不公正时，皇家学会却否认对委员会的报告负有责任。
对于这场争论，英国王室也非常关注。
莱布尼茨给人的印象是一个彬彬有礼、老于世故的人，即便当他用匿名的方式含沙射影地对牛顿进行攻击时，他也从不错过任何一次当众赞扬牛顿的机会。
1701年，一位爵士与莱布尼茨在柏林的王宫中共进晚餐，当普鲁士女王问莱布尼茨他对牛顿的看法时，莱布尼茨说，自从数学在世界上起源到牛顿爵士时代，有一大半是牛顿的功劳。他还补充说，当他碰到某个难题时，他问遍欧洲所有的学者都不能获得满意的答复，可当他写信向牛顿爵士请教时，牛顿会在首批邮件中给他寄来答案，告诉他如何去做，然后他就能解决这个问题。
而在两年前，莱布尼茨曾以匿名的方式暗示说：有人在悬链线所犯的错误便是由于牛顿的方法有缺陷。
第二次挑战发生在1716年，那时牛顿已经74岁，莱布尼茨又想出一个问题，再次向牛顿发难，问题是：“对于一个参数曲线来说，正交常角的轨道是什么？”这一次，莱布尼茨很庆幸，以为可以把牛顿难住了。
牛顿收到这个问题时刚刚下班回家，经过短暂的思考，在睡觉前就给出了解答。这一反击是致命的，它不仅证明了牛顿绝对是前无古人、后无来者的数学天才，而且，这也向人们宣告：踏上仕途的牛顿的数学天分还同年轻时一样强大，他还拥有超常的创造力。
莱布尼茨没有对此做任何评论，他知道自己并非不智，只是绝对无法与牛顿一较短长罢了。从此他一直保持沉默，没有再提出什么问题，直至1716年11月14日离开人世，这场旷日持久的争论才到了尽头。
似乎是牛顿取得了最终的胜利，但实际上没有人在这场争论中取得胜利，这只不过是一场悲剧，悲剧的结果便是无论莱布尼茨和牛顿，都没能在微积分上走得比对方更远一些。如果他们能够像争论之前一样互通有无，共学共进，至少不要把时间浪费在攻击对方和自我辩解上，一切便会朝更好的方向发展。
最后，还是让瑞士人和法国人占了先，他们在牛顿数学理论基础上，采用莱布尼茨先进的表达法，进一步完善了微积分，使其更加简单而实用。
如果牛顿没有受到那些所谓挚友的怂恿和提携，没有去做什么造币厂厂长，他很可能会很容易创造出作为物理和数学探索工具的仅次于微积分的变分法，而不会把它留给伯努利、欧拉和拉格朗日去开创了。
但如果就是如果，历史由不得假设，虽然牛顿没能继续发展他的理论，但作为微积分的第一个发明者，他已经得到了科学界的公认，并且将因此为后世所铭记。
