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第39章 逻辑体系的奇迹

公元前3世纪时,最著名的数学中心是亚历山大城;在亚历山大城,最著名的数学家是欧几里得。

欧几里得知识渊博,数学造诣精湛,尤其擅长于几何证明。连当时的国王也经常向他请教数学问题。有一次,国王做一道几何证明题,接连做了许多天都没有做出来,就问欧几里得,能不能把几何证明搞得稍微简单一些。欧几里得认为国王想投机取巧,于是不客气地回答说:“陛下,几何学里可没有专门为您开辟的大道!”这句话长久地流传下来,许多人把它当做学习几何的箴言。

在数学上,欧几里得最大的贡献是编了一本书。当然,仅凭这一本书,就足以使他获得不配的声誉。

这本书,也就是震烁古今的数学巨著《几何原本》。

为了编好这本书,欧几里得创造了一种巧妙的陈述方式。一开头,他介绍了所有的定义,让大家一翻开书,就知道书中的每个概念是什么意思。例如,什么叫做点?书中说:“点是没有部分的。”什么叫做线?书中说:“线有长度但没有宽度。”这样一来,大家就不会对书中的概述产生歧义了。

接下来,欧几里得提出了5个公理和5个公设:

公理1与同一件东西相等的一些东西,它们彼此也是相等的。

公理2等量加等量,总量仍相等。

公理3等量减等量,总量仍相等。

公理4彼此重合的东西彼此是相等的。

公理5整体大于部分。

公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能是。

公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。

公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。

公设4所有的直角都相等。

公设5如果一直线与两直线相交,且同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

在现在看来,公理与公设实际上是一回事,它们都是最基本的数学结论。公理的正确性是无庸置疑的,因为它们都经过了长期实际践的反复检验。而且,除了第5公设以外,其他公理的正确性几乎是“一目了然”的。想想看,你能找出一个例子,说明这些公理不正确吗?

这些公理是干什么用的?欧几里得把它们作为数学推理的基础。他想,既然谁也无法否认公理的正确性,那么,用它们作理论依据去证明数学定理,只要证明的过程不出差错,定理的正确性也是理论证据,却能推导出新的数学定理来。这样,就可以用一根逻辑的链条,把所有的定理都串联起来,让每一个环节都衔接得丝丝入扣,无懈可击。

在《几何原本》里,欧几里得用这种方式,有条不紊地证明了467个重要的数学定理。

从此,古希腊丰富的几何学知识,形成了一个逻辑严谨的科学体系。

这是一个奇迹!2000多年后,大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞说:这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”。

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